f(x)=sinx/2 - cos2x হলে intf(x)dx এর মানঃ

Explanation:

Another Explanation (5): দেওয়া আছে, \( f(x) = \frac{sin(x)}{2} - cos(2x) \) আমাদের \( \int f(x) dx \) এর মান নির্ণয় করতে হবে। তাহলে, \[ \int f(x) dx = \int \left( \frac{sin(x)}{2} - cos(2x) \right) dx \] এখন, ইন্টিগ্রেশন আলাদা করে লিখি: \[ \int f(x) dx = \int \frac{sin(x)}{2} dx - \int cos(2x) dx \] প্রথম ইন্টিগ্রালটি হলো: \[ \int \frac{sin(x)}{2} dx = \frac{1}{2} \int sin(x) dx = \frac{1}{2} (-cos(x)) + C_1 = -\frac{1}{2} cos(x) + C_1 \] দ্বিতীয় ইন্টিগ্রালটি হলো: \[ \int cos(2x) dx \] এখানে, \( 2x = u \) ধরলে, \( 2 dx = du \) হয়, অর্থাৎ \( dx = \frac{du}{2} \) তাহলে, \[ \int cos(2x) dx = \int cos(u) \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int cos(u) du = \frac{1}{2} sin(u) + C_2 = \frac{1}{2} sin(2x) + C_2 \] সুতরাং, \[ \int f(x) dx = -\frac{1}{2} cos(x) - \frac{1}{2} sin(2x) + C \] যেখানে \( C = C_1 + C_2 \) একটি arbitrary ধ্রুবক। কিন্তু উত্তরের সাথে মেলানোর জন্য, প্রদত্ত ফাংশনটিকে সম্ভবত \( f(x) = \frac{sin(x)}{2} - cos(2x) \) এর পরিবর্তে \( f(x) = \frac{sin(x/2)}{1} - cos(2x) \) হিসেবে বিবেচনা করা হয়েছে। 🤔 যদি \( f(x) = sin(\frac{x}{2}) - cos(2x) \) হয়, তবে: \[ \int f(x) dx = \int sin(\frac{x}{2}) dx - \int cos(2x) dx \] এখানে, \[ \int sin(\frac{x}{2}) dx \] ধরি, \( \frac{x}{2} = v \), তাহলে \( \frac{1}{2} dx = dv \), সুতরাং \( dx = 2 dv \) \[ \int sin(\frac{x}{2}) dx = \int sin(v) 2 dv = 2 \int sin(v) dv = 2 (-cos(v)) + C_1 = -2 cos(\frac{x}{2}) + C_1 \] এবং, \[ \int cos(2x) dx = \frac{1}{2} sin(2x) + C_2 \] সুতরাং, \[ \int f(x) dx = -2 cos(\frac{x}{2}) - \frac{1}{2} sin(2x) + C \] যেখানে \( C = C_1 + C_2 \) একটি arbitrary ধ্রুবক। সুতরাং, নির্ণেয় মান: \(-2cos(\frac{x}{2}) - \frac{1}{2}sin(2x) + N \)। 🎉