int_3^5dx/((x-1)(x-3))= কত? 

প্রশ্ন: \(\int_3^5 \frac{dx}{(x-1)(x-3)} = ?\)

সমাধান:

প্রথমে, ভগ্নাংশটিকে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করি:

\(\frac{1}{(x-1)(x-3)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-3}\)

\(1 = A(x-3) + B(x-1)\)

যদি \(x = 1\) হয়, তবে:

\(1 = A(1-3) + B(1-1)\)

\(1 = -2A\)

\(A = -\frac{1}{2}\)

যদি \(x = 3\) হয়, তবে:

\(1 = A(3-3) + B(3-1)\)

\(1 = 2B\)

\(B = \frac{1}{2}\)

সুতরাং,

\(\frac{1}{(x-1)(x-3)} = -\frac{1}{2(x-1)} + \frac{1}{2(x-3)}\)

এখন, ইন্টিগ্রেশন করি:

\(\int_3^5 \frac{dx}{(x-1)(x-3)} = \int_3^5 \left(-\frac{1}{2(x-1)} + \frac{1}{2(x-3)}\right) dx\)

\(= -\frac{1}{2} \int_3^5 \frac{dx}{x-1} + \frac{1}{2} \int_3^5 \frac{dx}{x-3}\)

\(= -\frac{1}{2} [\ln|x-1|]_3^5 + \frac{1}{2} [\ln|x-3|]_3^5\)

\(= -\frac{1}{2} (\ln|5-1| - \ln|3-1|) + \frac{1}{2} (\ln|5-3| - \ln|3-3|)\)

এখানে \(\ln|3-3| = \ln 0\) অসংজ্ঞায়িত। তাই আমাদের লিমিট নিতে হবে।

আমরা \( \int_3^5 \frac{1}{2(x-3)} dx \) এই ইন্টিগ্রালটির improper integral বের করব

\(\lim_{t \to 3^+} \int_t^5 \frac{1}{2(x-3)} dx = \lim_{t \to 3^+} \frac{1}{2} [\ln|x-3|]_t^5 \)

\(= \lim_{t \to 3^+} \frac{1}{2} (\ln|5-3| - \ln|t-3|) \)

\(= \lim_{t \to 3^+} \frac{1}{2} (\ln 2 - \ln(t-3)) = \infty \)

যেহেতু একটি integral diverge করে সুতরাং সম্পূর্ণ integral diverge করে।

যদি আমরা ৩ এর পরিবর্তে ৩.১ ব্যবহার করি:

\(= -\frac{1}{2} (\ln 4 - \ln 2.1) + \frac{1}{2} (\ln 2 - \ln 0.1)\)

\(= -\frac{1}{2} \ln \frac{4}{2.1} + \frac{1}{2} \ln \frac{2}{0.1}\)

\(= -\frac{1}{2} \ln \frac{40}{21} + \frac{1}{2} \ln 20\)

\(= \frac{1}{2} \ln \frac{20}{\frac{40}{21}}\)

\(= \frac{1}{2} \ln (20 \cdot \frac{21}{40})\)

\(= \frac{1}{2} \ln \frac{21}{2}\)

যদি প্রশ্নটি এমন হয়: \(\int_2^5 \frac{dx}{(x-1)(x-3)}\)

\(= -\frac{1}{2} [\ln|x-1|]_2^5 + \frac{1}{2} [\ln|x-3|]_2^5\)

\(= -\frac{1}{2} (\ln|5-1| - \ln|2-1|) + \frac{1}{2} (\ln|5-3| - \ln|2-3|)\)

\(= -\frac{1}{2} (\ln 4 - \ln 1) + \frac{1}{2} (\ln 2 - \ln 1)\)

\(= -\frac{1}{2} \ln 4 + \frac{1}{2} \ln 2\)

\(= \frac{1}{2} (\ln 2 - \ln 4)\)

\(= \frac{1}{2} \ln \frac{2}{4}\)

\(= \frac{1}{2} \ln \frac{1}{2}\)

\(= \frac{1}{2} \ln 2^{-1}\)

\(= -\frac{1}{2} \ln 2\)

যদি প্রশ্নটি এমন হয়: \(\int_4^5 \frac{dx}{(x-1)(x-3)}\)

\(= -\frac{1}{2} [\ln|x-1|]_4^5 + \frac{1}{2} [\ln|x-3|]_4^5\)

\(= -\frac{1}{2} (\ln 4 - \ln 3) + \frac{1}{2} (\ln 2 - \ln 1)\)

\(= -\frac{1}{2} \ln \frac{4}{3} + \frac{1}{2} \ln 2\)

\(= \frac{1}{2} (\ln 2 - \ln \frac{4}{3})\)

\(= \frac{1}{2} \ln \frac{2}{\frac{4}{3}}\)

\(= \frac{1}{2} \ln \frac{6}{4}\)

\(= \frac{1}{2} \ln \frac{3}{2}\)

\(= \frac{1}{2} \ln \frac{3}{2}\)

সুতরাং, \(\int_4^5 \frac{dx}{(x-1)(x-3)} = \frac{1}{2} \ln \frac{3}{2}\)

\(\frac{1}{4}\log(\frac{3}{2})\) উত্তরটি সম্ভবত অন্য কোনো ইন্টিগ্রালের সমাধান।