\( \int_{0}^{n \frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta \, d(\tan \theta) \) এর মান কত ?

প্রশ্ন: \( \int_{0}^{n \frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta \, d(\tan \theta) \) এর মান কত?

সমাধান:

আমরা জানি, \( d(\tan \theta) = \sec^2 \theta \, d\theta \)। সুতরাং,

\( \int_{0}^{n \frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta \, d(\tan \theta) = \int_{0}^{n \frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta \sec^2 \theta \, d\theta \)

\(= \int_{0}^{n \frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta \cdot \frac{1}{\cos^2 \theta} \, d\theta \)

\(= \int_{0}^{n \frac{\pi}{2}} 1 \, d\theta \)

\(= \left[ \theta \right]_{0}^{n \frac{\pi}{2}} \)

\(= n \frac{\pi}{2} - 0 \)

\(= n \frac{\pi}{2} \)

কিন্তু এখানে একটি সমস্যা আছে। \(\tan \theta\) এর মান \( \theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \dots \) ইত্যাদিতে অসীম। তাই আমাদের এই বিন্দুগুলোকে বাদ দিতে হবে।

আমরা \(0\) থেকে \(n \frac{\pi}{2}\) পর্যন্ত ইন্টিগ্রেশনটিকে \(n\) সংখ্যক অংশে ভাগ করতে পারি, যেখানে প্রতিটি অংশের দৈর্ঘ্য \( \frac{\pi}{2} \)।

\( \int_{0}^{n \frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta \, d(\tan \theta) = \sum_{k=0}^{n-1} \int_{k \frac{\pi}{2}}^{(k+1) \frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta \, d(\tan \theta) \)

যখন \(k\) জোড় সংখ্যা, তখন \( \int_{k \frac{\pi}{2}}^{(k+1) \frac{\pi}{2}} 1 \, d\theta = \frac{\pi}{2} \)। কিন্তু যখন \(k\) বিজোড় সংখ্যা, তখন ইন্টিগ্রালটি অসঙ্গত (improper)।

যদি আমরা প্রতিটি \( \frac{\pi}{2} \) ব্যবধানে ইন্টিগ্রাল নেই, তবে \( \tan \theta \) এর অসীমতার কারণে আমাদের বিশেষ সতর্কতা অবলম্বন করতে হবে।

আমরা লিমিট ব্যবহার করে ইন্টিগ্রালটির মান বের করতে পারি:

\(\lim_{\epsilon \to 0} \int_{0}^{\frac{\pi}{2} - \epsilon} \cos^2 \theta \, d(\tan \theta) = \lim_{\epsilon \to 0} \int_{0}^{\frac{\pi}{2} - \epsilon} 1 \, d\theta = \lim_{\epsilon \to 0} [\theta]_{0}^{\frac{\pi}{2} - \epsilon} = \frac{\pi}{2}\)

সুতরাং, \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta \, d(\tan \theta) = \frac{\pi}{2}\)

যদি \(n\) একটি পূর্ণসংখ্যা হয়, তবে

\(\int_{0}^{n \frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta \, d(\tan \theta) = n \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{n\pi}{2}\)

অতএব, \( \int_{0}^{n \frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta \, d(\tan \theta) = \frac{n\pi}{2} \). 🎉

উত্তর: \( \frac{n\pi}{2} \) 🎈