int_0^1dx/sqrt(2x-x^2) =?  

প্রশ্নের সমাধান শুরু করি:

প্রথমে, ইন্টিগ্রালটি হলো:

\[
I = \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{2x - x^2}}
\]

এখানে, নিচের মূল অংশটি পরিবর্তন করতে পারি:

\[
2x - x^2 = -(x^2 - 2x) = -\left(x^2 - 2x\right)
\]

অতএব, এটির জন্য সম্পূর্ণ স্কোয়ার তৈরি করি:

\[
x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1
\]

সুতরাং, মূল ইন্টিগ্রালটি এখন লিখতে পারি:

\[
I = \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1 - (x - 1)^2}}
\]

এখানে পরিবর্তন করি:

\[
t = x - 1 \Rightarrow dt = dx
\]

নিয়ম অনুযায়ী, যখন \(x = 0\), তখন \(t = -1\); এবং যখন \(x = 1\), তখন \(t = 0\)। ফলে ইন্টিগ্রালটি হয়:

\[
I = \int_{-1}^0 \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}}
\]

এটি একটি সাধারণ আর্সাইন্ট্রিগ্রাল:

\[
I = \left[ \sin^{-1} t \right]_{-1}^0 = \sin^{-1} 0 - \sin^{-1}(-1)
\]

এখানে, \(\sin^{-1} 0 = 0\) এবং \(\sin^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{2}\), সুতরাং:

\[
I = 0 - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2}
\]

অতএব, সমাধান হলো:

\(\boxed{\frac{\pi}{2}}\)