int_0^(pi/3)dx/(1-sinx)=? 

Explanation:

Another Explanation (5): সমাধান: আমরা জানি, \( \int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{1-\sin x} \) প্রথমে, আমরা \(\frac{1}{1-\sin x}\) কে সরল করি: \( \frac{1}{1-\sin x} = \frac{1+\sin x}{(1-\sin x)(1+\sin x)} = \frac{1+\sin x}{1-\sin^2 x} = \frac{1+\sin x}{\cos^2 x} = \sec^2 x + \sec x \tan x \) সুতরাং, \( \int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{1-\sin x} = \int_0^{\frac{\pi}{3}} (\sec^2 x + \sec x \tan x) dx \) এখন, আমরা ইন্টিগ্রেশন করি: \( \int_0^{\frac{\pi}{3}} \sec^2 x dx + \int_0^{\frac{\pi}{3}} \sec x \tan x dx \) আমরা জানি, \( \int \sec^2 x dx = \tan x \) এবং \( \int \sec x \tan x dx = \sec x \) সুতরাং, \( [\tan x]_0^{\frac{\pi}{3}} + [\sec x]_0^{\frac{\pi}{3}} \) এখন, আমরা লিমিট বসাই: \( (\tan \frac{\pi}{3} - \tan 0) + (\sec \frac{\pi}{3} - \sec 0) \) আমরা জানি, \( \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \), \( \tan 0 = 0 \), \( \sec \frac{\pi}{3} = 2 \), \( \sec 0 = 1 \) সুতরাং, \( (\sqrt{3} - 0) + (2 - 1) = \sqrt{3} + 1 \) অতএব, \( \int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{1-\sin x} = \sqrt{3} + 1 \) 🥳