int_0^(π/2) (1+cosx)^2sinx dx  এর মান-

প্রশ্ন: \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1+\cos x)^2 \sin x \, dx \) এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, \( u = 1 + \cos x \)
তাহলে, \( \frac{du}{dx} = -\sin x \)
সুতরাং, \( du = -\sin x \, dx \)
অতএব, \( \sin x \, dx = -du \)

এখন, যখন \( x = 0 \), তখন \( u = 1 + \cos 0 = 1 + 1 = 2 \)
এবং যখন \( x = \frac{\pi}{2} \), তখন \( u = 1 + \cos \frac{\pi}{2} = 1 + 0 = 1 \)

সুতরাং, সমাকলনটি হবে:

\( \int_2^1 u^2 (-du) = -\int_2^1 u^2 \, du = \int_1^2 u^2 \, du \)

এখন, \( \int u^2 \, du = \frac{u^3}{3} + C \)
অতএব, \( \int_1^2 u^2 \, du = \left[ \frac{u^3}{3} \right]_1^2 = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \)

সুতরাং, \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1+\cos x)^2 \sin x \, dx = \frac{7}{3} \)

উত্তর: \( \frac{7}{3} \)