int_0^π (cosx+sinx)/(sqrt(1+sin2x))dx এর মান কোনটি?  

আমরা প্রথমে ইন্টিগ্রালটিকে লিখি:

\( \int_0^\pi \frac{\cos x + \sin x}{\sqrt{1 + \sin 2x}} dx \)

আমরা জানি, \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \)। সুতরাং,

\( 1 + \sin 2x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2 \)

তাহলে ইন্টিগ্রালটি হবে:

\( \int_0^\pi \frac{\cos x + \sin x}{\sqrt{(\sin x + \cos x)^2}} dx = \int_0^\pi \frac{\cos x + \sin x}{|\sin x + \cos x|} dx \)

এখন, আমাদের দেখতে হবে \( \sin x + \cos x \) এর চিহ্ন \( 0 \) থেকে \( \pi \) এর মধ্যে।

আমরা লিখতে পারি, \( \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) \)

যেহেতু \( 0 \le x \le \pi \), তাহলে \( \frac{\pi}{4} \le x + \frac{\pi}{4} \le \frac{5\pi}{4} \)। এই পরিসরে \( \sin(x + \frac{\pi}{4}) \) এর চিহ্ন প্রথমে ধনাত্মক এবং পরে ঋণাত্মক হয় \(x = \frac{3\pi}{4}\) বিন্দুতে।

কিন্তু \( \sin x + \cos x = 0 \) যখন \( x = \frac{3\pi}{4} \)। সুতরাং, \( 0 \) থেকে \( \pi \) এর মধ্যে \( \sin x + \cos x \ge 0 \)।

অতএব, \( |\sin x + \cos x| = \sin x + \cos x \) ।

সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি হবে:

\( \int_0^\pi \frac{\cos x + \sin x}{\sin x + \cos x} dx = \int_0^\pi 1 dx = [x]_0^\pi = \pi - 0 = \pi \)

সুতরাং, উত্তরটি হল \( \pi \) 🥳।