f(x) = 4x হলে,

1.  intdx/f(x)=1/4lnx+c
2.  inte^f(x)dx=1/4e^(4x)+c
3.  int_0^1f(x)dx=8

নিচের কোনটি সঠিক?

Another Explanation (5):

প্রশ্নের বিশ্লেষণ ও সমাধান

প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে \(f(x) = 4x\)। নিচের তিনটি বিবৃতি যাচাই করব:

1. \(\int \frac{dx}{f(x)} = \frac{1}{4} \ln x + c\)
2. \(\int e^{f(x)} dx = \frac{1}{4} e^{4x} + c\)
3. \(\int_{0}^{1} f(x) dx = 8\)

সমাধান:

1. \(\int \frac{dx}{f(x)}\)

আমরা জানি, \(f(x) = 4x\)। তাহলে:

\[ \int \frac{dx}{f(x)} = \int \frac{dx}{4x} = \frac{1}{4} \int \frac{dx}{x} \] \[ = \frac{1}{4} \ln |x| + c \] সুতরাং, প্রথম বিবৃতি: \[ \int \frac{dx}{f(x)} = \frac{1}{4} \ln x + c \] (এখানে, \(x > 0\) ধরা হয়েছে।) > **বিবৃতি i সঠিক।**

2. \(\int e^{f(x)} dx\)

\[ \int e^{f(x)} dx = \int e^{4x} dx \] এটি সরাসরি ইন্টিগ্রেশন করে: \[ = \frac{1}{4} e^{4x} + c \] সুতরাং, দ্বিতীয় বিবৃতি: \[ \int e^{f(x)} dx = \frac{1}{4} e^{4x} + c \] (সঠিক।)

3. \(\int_{0}^{1} f(x) dx\)

\[ \int_{0}^{1} 4x dx = 4 \int_{0}^{1} x dx = 4 \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = 4 \times \frac{1^2}{2} = 4 \times \frac{1}{2} = 2 \] অর্থাৎ, নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রাল: \[ \int_{0}^{1} f(x) dx = 2 \] অথচ, প্রশ্নে বলা হয়েছে ফলাফল 8, যা ভুল। সুতরাং, তৃতীয় বিবৃতি ভুল।

উপসংহার:

প্রথম ও দ্বিতীয় বিবৃতি সঠিক, কিন্তু তৃতীয় বিবৃতি ভুল।

অর্থাৎ, সঠিক উত্তর হবে: i ও ii।

উত্তর: i ও ii