int_1^e lnx dx = ?

Explanation:

Another Explanation (5): সমাধান: \( \int_{1}^{e} \ln x \, dx \) নির্ণয় করতে হবে। আমরা জানি, ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস (Integration by parts) এর সূত্র: \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \) এখানে, \( u = \ln x \) এবং \( dv = dx \) ধরি। তাহলে, \( du = \frac{1}{x} \, dx \) এবং \( v = \int dx = x \) এখন, সূত্র অনুযায়ী: \( \int_{1}^{e} \ln x \, dx = \left[ x \ln x \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \cdot \frac{1}{x} \, dx \) \( = \left[ x \ln x \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} 1 \, dx \) \( = \left[ x \ln x \right]_{1}^{e} - \left[ x \right]_{1}^{e} \) এখন, লিমিট বসিয়ে পাই: \( = (e \ln e - 1 \ln 1) - (e - 1) \) যেহেতু \( \ln e = 1 \) এবং \( \ln 1 = 0 \), \( = (e \cdot 1 - 1 \cdot 0) - (e - 1) \) \( = e - (e - 1) \) \( = e - e + 1 \) \( = 1 \) সুতরাং, \( \int_{1}^{e} \ln x \, dx = 1 \) 🎉