int_0^1dx/(sqrt(2x-x^2)) এর মান কত?

সমাধান

আমরা \(\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{2x - x^2}}\) এর মান নির্ণয় করব।

প্রথমে, ইন্টিগ্র‍্যান্ডটিকে একটু সরল করা যাক: \[ \sqrt{2x - x^2} = \sqrt{1 - (1 - 2x + x^2)} = \sqrt{1 - (x - 1)^2} \]

সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি দাঁড়ায়: \[ \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1 - (x - 1)^2}} \]

এখন, \(x - 1 = \sin\theta\) ধরলে, \(dx = \cos\theta d\theta\) হবে। যখন \(x = 0\), \(\sin\theta = -1\) অর্থাৎ \(\theta = -\frac{\pi}{2}\)। আবার যখন \(x = 1\), \(\sin\theta = 0\) অর্থাৎ \(\theta = 0\)। সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি হবে: \[ \int_{-\pi/2}^0 \frac{\cos\theta d\theta}{\sqrt{1 - \sin^2\theta}} = \int_{-\pi/2}^0 \frac{\cos\theta d\theta}{\sqrt{\cos^2\theta}} = \int_{-\pi/2}^0 \frac{\cos\theta d\theta}{\cos\theta} = \int_{-\pi/2}^0 d\theta \]

এখন ইন্টিগ্রেশন করলে পাই: \[ \int_{-\pi/2}^0 d\theta = [\theta]_{-\pi/2}^0 = 0 - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} \]

অতএব, \(\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{2x - x^2}} = \frac{\pi}{2}\) 😊।

সুতরাং, নির্ণেয় মান \(\frac{\pi}{2}\)।