int_0^a(2x+3)dx=-2  হলে a এর মান কত?

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: \(\int_0^a (2x + 3) \, dx = -2\) হলে \(a\) এর মান কত?

সমাধান:

প্রথমে ইন্টিগ্রালটি সমাধান করি:

\[ \int_0^a (2x + 3) \, dx \] এটি হলো:

\[ \left[ x^2 + 3x \right]_0^a \] অর্থাৎ:

\[ (a)^2 + 3a - (0)^2 - 3 \times 0 = a^2 + 3a \] প্রদান করা সমীকরণ অনুযায়ী:

\[ a^2 + 3a = -2 \] এখন এই সমীকরণটি সমাধান করি:

\[ a^2 + 3a + 2 = 0 \] এটি একটি কিউাড্রেট সমীকরণ। সমাধানের জন্য আমরা যোগফল ও গুণফল ব্যবহার করি বা সাধারণ রূট ফর্মুলা ব্যবহার করি: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] এখানে, \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = 2\): \[ a = \frac{-3 \pm \sqrt{(3)^2 - 4 \times 1 \times 2}}{2 \times 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2} \] অর্থাৎ: \[ a = \frac{-3 \pm 1}{2} \] দুটি সমাধান হবে: \[ a = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \] এবং \[ a = \frac{-3 - 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \] অতএব, উত্তর হলো: \[ a = -1 \quad \text{বা} \quad a = -2 \]