int_-1^1|x|dx এর মান কত?

Explanation:

Another Explanation (5): আমরা \( \int_{-1}^{1} |x| \, dx \) এর মান নির্ণয় করতে চাই। যেহেতু \( |x| \) একটি পরম মান ফাংশন, তাই আমাদের এটিকে সংজ্ঞায়িত করতে হবে। \( |x| = \begin{cases} -x, & \text{if } x < 0 \\ x, & \text{if } x \geq 0 \end{cases} \) সুতরাং, আমরা ইন্টিগ্রালটিকে দুটি অংশে ভাগ করতে পারি: \( \int_{-1}^{1} |x| \, dx = \int_{-1}^{0} |x| \, dx + \int_{0}^{1} |x| \, dx \) এখন, \( -1 \leq x < 0 \) এর জন্য, \( |x| = -x \) এবং \( 0 \leq x \leq 1 \) এর জন্য, \( |x| = x \)। সুতরাং, \( \int_{-1}^{0} |x| \, dx = \int_{-1}^{0} -x \, dx = \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} = -\frac{0^2}{2} - \left( -\frac{(-1)^2}{2} \right) = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \) এবং \( \int_{0}^{1} |x| \, dx = \int_{0}^{1} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2} \) সুতরাং, \( \int_{-1}^{1} |x| \, dx = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \) অতএব, \( \int_{-1}^{1} |x| \, dx = 1 \) 🥳🥳।