int_0^x f(p)f'(p)dp = ?

Explanation:

Another Explanation (5): সমাধান: ধরি, \( I = \int_0^x f(p)f'(p) \, dp \) এখানে, আমরা \(u = f(p)\) প্রতিস্থাপন করি। তাহলে, \(du = f'(p) \, dp\) হবে। যখন \(p = 0\), তখন \(u = f(0)\) এবং যখন \(p = x\), তখন \(u = f(x)\)। সুতরাং, আমাদের ইন্টিগ্রালটি এখন হবে: \( I = \int_{f(0)}^{f(x)} u \, du \) এখন, আমরা সহজেই ইন্টিগ্রেশন করতে পারি: \( I = \left[ \frac{1}{2}u^2 \right]_{f(0)}^{f(x)} \) সীমা বসিয়ে পাই: \( I = \frac{1}{2} [f(x)]^2 - \frac{1}{2} [f(0)]^2 \) সুতরাং, \( I = \frac{1}{2} [f(x)]^2 - \frac{1}{2} [f(0)]^2 \) অথবা, \( I = \frac{1}{2} \{ [f(x)]^2 - [f(0)]^2 \} \) অতএব, \( \int_0^x f(p)f'(p) \, dp = \frac{1}{2} [f(x)]^2 - \frac{1}{2} [f(0)]^2 \) 🎉🥳