int_0^(pi/2)cos^5sinxdx এর মান কত?

Explanation:

Another Explanation (5): সমাধান: ধরি, \( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^5(x) \sin(x) \, dx \) এখানে, আমরা \(\cos(x) = t\) প্রতিস্থাপন করি। সুতরাং, \(-\sin(x) \, dx = dt\) হবে। যখন \(x = 0\), তখন \(t = \cos(0) = 1\) যখন \(x = \frac{\pi}{2}\), তখন \(t = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0\) সুতরাং, সমাকলনটি হবে: \( I = \int_{1}^{0} t^5 (-dt) \) \( I = - \int_{1}^{0} t^5 \, dt \) \( I = \int_{0}^{1} t^5 \, dt \) (কারণ, \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx = - \int_{b}^{a} f(x) \, dx\)) এখন, আমরা \(t^5\) এর সমাকলন করি: \( I = \left[ \frac{t^6}{6} \right]_{0}^{1} \) \( I = \frac{1^6}{6} - \frac{0^6}{6} \) \( I = \frac{1}{6} - 0 \) \( I = \frac{1}{6} \) অতএব, \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^5(x) \sin(x) \, dx = \frac{1}{6}\) উত্তর: \( \frac{1}{6} \) 🎉🎉