int_1^e dx/(x(1+lnx)^2) এর মান কত?

Explanation:

Another Explanation (5): সমাধান: ধরি, \( u = 1 + \ln x \) তাহলে, \( \frac{du}{dx} = \frac{1}{x} \) সুতরাং, \( du = \frac{dx}{x} \) এখন, \( x = 1 \) হলে, \( u = 1 + \ln 1 = 1 + 0 = 1 \) এবং \( x = e \) হলে, \( u = 1 + \ln e = 1 + 1 = 2 \) অতএব, প্রদত্ত ইন্টিগ্রালটি \( u \) এর সাপেক্ষে পরিবর্তিত হয়ে দাঁড়ায়: \( \int_1^e \frac{dx}{x(1+\ln x)^2} = \int_1^2 \frac{du}{u^2} \) এখন, \( \int u^{-2} du = \frac{u^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{u} + C \) সুতরাং, \( \int_1^2 \frac{du}{u^2} = \left[-\frac{1}{u}\right]_1^2 = -\frac{1}{2} - (-\frac{1}{1}) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} \) অতএব, \( \int_1^e \frac{dx}{x(1+\ln x)^2} = \frac{1}{2} \) সুতরাং, উত্তর: 1/2 🎉