int(xe^x)/(x+1)^2=f(x)+c," " f(x)=?

Explanation:

Another Explanation (5): সমাধান: ধরি, \( I = \int \frac{xe^x}{(x+1)^2} dx \) আমরা লিখতে পারি, \( x = (x+1) - 1 \) তাহলে, \( I = \int \frac{(x+1-1)e^x}{(x+1)^2} dx = \int \frac{(x+1)e^x - e^x}{(x+1)^2} dx \) \( I = \int \frac{(x+1)e^x}{(x+1)^2} dx - \int \frac{e^x}{(x+1)^2} dx \) \( I = \int \frac{e^x}{x+1} dx - \int \frac{e^x}{(x+1)^2} dx \) এখন, প্রথম ইন্টিগ্রালটিকে আমরা এভাবে লিখতে পারি: \( \int \frac{e^x}{x+1} dx = \int e^x \cdot \frac{1}{x+1} dx \) এখানে, আমরা ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস ব্যবহার করবো: \( \int u dv = uv - \int v du \) ধরি, \( u = \frac{1}{x+1} \) এবং \( dv = e^x dx \) তাহলে, \( du = -\frac{1}{(x+1)^2} dx \) এবং \( v = e^x \) সুতরাং, \( \int \frac{e^x}{x+1} dx = \frac{e^x}{x+1} - \int e^x \cdot \left( -\frac{1}{(x+1)^2} \right) dx \) \( \int \frac{e^x}{x+1} dx = \frac{e^x}{x+1} + \int \frac{e^x}{(x+1)^2} dx \) এখন, \( I \) এর সমীকরণে এই মান বসিয়ে পাই: \( I = \frac{e^x}{x+1} + \int \frac{e^x}{(x+1)^2} dx - \int \frac{e^x}{(x+1)^2} dx \) \( I = \frac{e^x}{x+1} + c \) সুতরাং, \( f(x) = \frac{e^x}{x+1} \) 🎉