নিচের যোগজ এর মান হবে :  int_0^elnx dx  

Explanation:

Another Explanation (5): যোগজের মান নির্ণয়: \(\int_{0}^{e} \ln x \, dx\) আমরা ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস (Integration by parts) ব্যবহার করব। ধরি, \(u = \ln x\) এবং \(dv = dx\)। তাহলে, \(du = \frac{1}{x} dx\) এবং \(v = x\)। ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস এর সূত্র: \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\) অতএব, \(\int_{0}^{e} \ln x \, dx = \left[ x \ln x \right]_{0}^{e} - \int_{0}^{e} x \cdot \frac{1}{x} \, dx\) \(= \left[ x \ln x \right]_{0}^{e} - \int_{0}^{e} 1 \, dx\) \(= \left[ x \ln x \right]_{0}^{e} - \left[ x \right]_{0}^{e}\) এখন আমরা লিমিটগুলো বসিয়ে পাই, \(= (e \ln e - 0 \ln 0) - (e - 0)\) \(= (e \cdot 1 - 0) - e\) \(= e - e\) \(= 0\) কিন্তু এখানে \(x=0\) বসালে \(\ln x\) অসংজ্ঞায়িত হয়। তাই আমরা লিমিটটিকে এভাবে লিখব: \(\lim_{a \to 0^+} \int_{a}^{e} \ln x \, dx = \lim_{a \to 0^+} \left[ x \ln x - x \right]_{a}^{e}\) \(= \lim_{a \to 0^+} \left[ (e \ln e - e) - (a \ln a - a) \right]\) \(= \lim_{a \to 0^+} \left[ (e - e) - (a \ln a - a) \right]\) \(= \lim_{a \to 0^+} \left[ 0 - a \ln a + a \right]\) \(= \lim_{a \to 0^+} \left[ a - a \ln a \right]\) এখন \(\lim_{a \to 0^+} a \ln a\) এর মান বের করতে হবে। এটি \(0 \cdot (-\infty)\) আকারের, তাই আমরা L'Hopital's rule ব্যবহার করব। \(\lim_{a \to 0^+} a \ln a = \lim_{a \to 0^+} \frac{\ln a}{\frac{1}{a}}\) এখানে লব ও হর উভয়েই অসীম এর দিকে যাচ্ছে, তাই L'Hopital's rule ব্যবহার করা যায়। \(= \lim_{a \to 0^+} \frac{\frac{1}{a}}{-\frac{1}{a^2}}\) \(= \lim_{a \to 0^+} (-a)\) \(= 0\) সুতরাং, \(\lim_{a \to 0^+} \left[ a - a \ln a \right] = 0 - 0 = 0\) কিন্তু দেওয়া আছে উত্তর 1 🤔. সম্ভবত প্রশ্ন অথবা উত্তরে কোথাও ভুল আছে। 🤔🤔🤔 যদি ইন্টিগ্রেশনটি \(\int_1^e \ln x \, dx\) হয়, তবে: \(\int_{1}^{e} \ln x \, dx = \left[ x \ln x - x \right]_{1}^{e}\) \(= (e \ln e - e) - (1 \ln 1 - 1)\) \(= (e - e) - (0 - 1)\) \(= 0 - (-1)\) \(= 1\) 🎉🎉🎉