intf(x)dx=log((x-3)/(x-2))+c হলে f(x) = কত?

প্রশ্ন:

যদি \(\int f(x) \, dx = \log\left(\frac{x-3}{x-2}\right) + c\) হয়, তবে \(f(x)\) = কত?

উত্তর: \(f(x) = \frac{1}{(x-2)(x-3)}\)

ব্যাখ্যা:

আমরা জানি, যদি \(\int f(x) \, dx = F(x) + c\) হয়, তবে \(f(x) = \frac{d}{dx} F(x)\)।

এখানে, \(F(x) = \log\left(\frac{x-3}{x-2}\right)\)

অতএব, \(f(x) = \frac{d}{dx} \left[\log\left(\frac{x-3}{x-2}\right)\right]\)

আমরা লগারিদমের নিয়ম ব্যবহার করে লিখতে পারি:

\(f(x) = \frac{d}{dx} \left[\log(x-3) - \log(x-2)\right]\)

এবার, আমরা অন্তরীকরণ করি:

\(f(x) = \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-2}\)

লসাগু করে পাই:

\(f(x) = \frac{(x-2) - (x-3)}{(x-3)(x-2)}\)

\(f(x) = \frac{x-2-x+3}{(x-3)(x-2)}\)

\(f(x) = \frac{1}{(x-3)(x-2)}\)

\(f(x) = \frac{1}{(x-2)(x-3)}\)

সুতরাং, \(f(x) = \frac{1}{(x-2)(x-3)}\) 🥳