int sqrt((5-x)/(5+x)) dx =?

Explanation:

Another Explanation (5): সমাধান: \[ \int \sqrt{\frac{5-x}{5+x}} \, dx \] আমরা \(\sqrt{\frac{5-x}{5+x}}\) কে সরল করার চেষ্টা করি। এর জন্য, লব ও হরকে \(\sqrt{5-x}\) দিয়ে গুণ করি: \[ \sqrt{\frac{5-x}{5+x}} = \sqrt{\frac{(5-x)(5-x)}{(5+x)(5-x)}} = \sqrt{\frac{(5-x)^2}{25-x^2}} = \frac{5-x}{\sqrt{25-x^2}} \] তাহলে, ইন্টিগ্রালটি দাঁড়ায়: \[ \int \frac{5-x}{\sqrt{25-x^2}} \, dx = \int \frac{5}{\sqrt{25-x^2}} \, dx - \int \frac{x}{\sqrt{25-x^2}} \, dx \] প্রথম ইন্টিগ্রালটি হলো: \[ \int \frac{5}{\sqrt{25-x^2}} \, dx = 5 \int \frac{1}{\sqrt{25-x^2}} \, dx = 5 \sin^{-1}\left(\frac{x}{5}\right) + C_1 \] দ্বিতীয় ইন্টিগ্রালটি হলো: \[ \int \frac{x}{\sqrt{25-x^2}} \, dx \] এখানে \(u = 25 - x^2\) ধরলে, \(du = -2x \, dx\) হয়। সুতরাং, \(x \, dx = -\frac{1}{2} du\). \[ \int \frac{x}{\sqrt{25-x^2}} \, dx = \int \frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \, du = -\frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} \, du = -\frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C_2 = -u^{\frac{1}{2}} + C_2 = -\sqrt{25-x^2} + C_2 \] সুতরাং, সম্পূর্ণ ইন্টিগ্রালটি হলো: \[ \int \sqrt{\frac{5-x}{5+x}} \, dx = 5 \sin^{-1}\left(\frac{x}{5}\right) - (-\sqrt{25-x^2}) + C = 5 \sin^{-1}\left(\frac{x}{5}\right) + \sqrt{25-x^2} + C \] অতএব, \[ \int \sqrt{\frac{5-x}{5+x}} \, dx = 5 \sin^{-1}\left(\frac{x}{5}\right) + \sqrt{25-x^2} + C \] ✅