int_0^(pi/2)e^x(sinx + cosx)dx=? 

প্রশ্ন: \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^x (\sin x + \cos x) dx = ? \)

উত্তর: \( e^{\frac{\pi}{2}} \)

ব্যাখ্যা:

আমরা জানি, \( \frac{d}{dx}(e^x \sin x) = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x (\sin x + \cos x) \).

সুতরাং, \( \int e^x (\sin x + \cos x) dx = e^x \sin x + C \), যেখানে \( C \) একটি ধ্রুবক।

এখন, নির্দিষ্ট সমাকল (definite integral) নির্ণয় করি:

\( \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^x (\sin x + \cos x) dx = \left[ e^x \sin x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \)

\( = e^{\frac{\pi}{2}} \sin \frac{\pi}{2} - e^0 \sin 0 \)

\( = e^{\frac{\pi}{2}} \cdot 1 - 1 \cdot 0 \)

\( = e^{\frac{\pi}{2}} - 0 \)

\( = e^{\frac{\pi}{2}} \)

অতএব, \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^x (\sin x + \cos x) dx = e^{\frac{\pi}{2}} \). 🎉