∫ F(x) dx = sin^-1  x/a + c  হলে F(x) এর সমান কোনটি? 

প্রশ্ন: \( \int F(x) \, dx = \sin^{-1} \frac{x}{a} + c \) হলে, \( F(x) \) এর মান নির্ণয় করো। 🤔

সমাধান:

আমরা জানি, \( \int F(x) \, dx = \sin^{-1} \frac{x}{a} + c \)।

এখন, উভয় পার্শকে \( x \) এর সাপেক্ষে অন্তরকলন করি। 🤓

\( \frac{d}{dx} \left( \int F(x) \, dx \right) = \frac{d}{dx} \left( \sin^{-1} \frac{x}{a} + c \right) \)

আমরা জানি, \( \frac{d}{dx} \int F(x) \, dx = F(x) \)। 😎

এবং \( \frac{d}{dx} \sin^{-1} \frac{x}{a} = \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{x}{a}\right)^2}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{\frac{a^2 - x^2}{a^2}}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{\frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{|a|}} \cdot \frac{1}{a} \)।

ধরি, \( a > 0 \), তাহলে \( |a| = a \)। 🤩

সুতরাং, \( \frac{d}{dx} \sin^{-1} \frac{x}{a} = \frac{1}{\frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{a}{\sqrt{a^2 - x^2}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \)।

যেহেতু \( c \) একটি ধ্রুবক, \( \frac{d}{dx} (c) = 0 \)।

সুতরাং, \( F(x) = \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \)।

অতএব, \( F(x) = \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \)। 🎉