যদি ∫cosec² (5−8x) dx = a cot (5−8x) + c হয়, তবে a এর মান কোনটি?

সমাধান:

প্রশ্ন: যদি \(\int \csc^{2}(5 - 8x) \, dx = a \cot(5 - 8x) + c\), তবে \(a\) এর মান কত?

ধাপ ১: মূল ইন্টিগ্রাল পরিচিতি

আমরা জানি,

\(\displaystyle \frac{d}{dx} \cot u = - \csc^{2} u \cdot \frac{du}{dx}\)

ধাপ ২: ইন্টিগ্রাল সমাধান

অর্থাৎ,

\(\displaystyle \int \csc^{2} u \, du = - \cot u + C\)

ধাপ ৩: সাবস্টিটিউশন

উপস্থাপিত ফাংশনে, \(u = 5 - 8x\)

অতএব,

\(\displaystyle du = -8 \, dx\)

অর্থাৎ,

\(\displaystyle dx = -\frac{1}{8} du\)

ধাপ ৪: ইন্টিগ্রাল রূপান্তর

অতএব,

\(\displaystyle \int \csc^{2}(5 - 8x) \, dx = \int \csc^{2} u \cdot \left(-\frac{1}{8}\right) du\)

\(\displaystyle = -\frac{1}{8} \int \csc^{2} u \, du\)

ধাপ ৫: সমাধান

\(\displaystyle = -\frac{1}{8} \left( - \cot u \right) + C = \frac{1}{8} \cot u + C\)

ধাপ ৬: মূল ফাংশনের সাথে তুলনা

অতএব,

\(\displaystyle \int \csc^{2}(5 - 8x) \, dx = a \cot(5 - 8x) + C\)

তাহলে,

\(\displaystyle a \cot(5 - 8x) = \frac{1}{8} \cot(5 - 8x)\)

উপসংহার:

অতএব, \(a = \frac{1}{8}\)