মান নির্ণয় কর-  int_0^(pi/4) (sin2theta)/(sin^4theta+cos^4theta)d theta 

Explanation:

Another Explanation (5): সমাধান: আমরা নির্ণয় করতে চাই: \(\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin 2\theta}{\sin^4 \theta + \cos^4 \theta} d\theta\) প্রথমে হরকে একটু সরল করি: \(\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 - 2\sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - 2\sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{2}(2\sin \theta \cos \theta)^2 = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2\theta\) তাহলে, \(\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin 2\theta}{\sin^4 \theta + \cos^4 \theta} d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin 2\theta}{1 - \frac{1}{2}\sin^2 2\theta} d\theta\) ধরি, \(u = \sin 2\theta\). তাহলে, \(\frac{du}{d\theta} = 2\cos 2\theta\). 🤔 এই প্রতিস্থাপন কাজে দিবে না। অন্যভাবে চেষ্টা করি। আমরা লিখতে পারি, \(\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = \cos^4 \theta ( \tan^4 \theta + 1)\) তাহলে, \(\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin 2\theta}{\sin^4 \theta + \cos^4 \theta} d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{2\sin \theta \cos \theta}{\cos^4 \theta (\tan^4 \theta + 1)} d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{2\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{\cos^2 \theta (\tan^4 \theta + 1)} d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{2\tan \theta}{\sec^2 \theta (\tan^4 \theta + 1)} d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{2\tan \theta}{(1+\tan^2 \theta) (\tan^4 \theta + 1)} d\theta\) এটাও খুব একটা কাজের মনে হচ্ছে না। 😥 আগের লাইনে ফিরে যাই: \(\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin 2\theta}{1 - \frac{1}{2}\sin^2 2\theta} d\theta\) ধরি, \(u = \sin 2\theta\). তাহলে, \(du = 2\cos 2\theta d\theta\). এটাও কাজে দিবে না। আচ্ছা, \(t = \sin^2 2\theta\) ধরলে কেমন হয়? \(dt = 2\sin 2\theta \cdot 2\cos 2\theta d\theta = 4\sin 2\theta \cos 2\theta d\theta\). নাহ, এটাও না। 🙄 আবারো প্রথমের লাইনে ফিরে যাই: \(\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin 2\theta}{\sin^4 \theta + \cos^4 \theta} d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin 2\theta}{1 - \frac{1}{2}\sin^2 2\theta} d\theta\) ধরি, \(u = \sin^2 2\theta\). তাহলে, \(du = 2\sin 2\theta \cos 2\theta \cdot 2 d\theta = 4\sin 2\theta \cos 2\theta d\theta\). এটাও জটিল হয়ে যাচ্ছে। 🤯 আচ্ছা, যদি আমরা \(\cos^4\theta\) দিয়ে ভাগ করি, তাহলে কি হয়? \(\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin 2\theta}{\sin^4 \theta + \cos^4 \theta} d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\frac{\sin 2\theta}{\cos^4 \theta}}{\tan^4 \theta + 1} d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{2\tan \theta \sec^2 \theta}{\tan^4 \theta + 1} d\theta\) ধরি, \(u = \tan^2 \theta\). তাহলে, \(du = 2\tan \theta \sec^2 \theta d\theta\). 🎉 সীমা পরিবর্তন করি: যখন \(\theta = 0\), \(u = \tan^2 0 = 0\). যখন \(\theta = \frac{\pi}{4}\), \(u = \tan^2 \frac{\pi}{4} = 1\). তাহলে, \(\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{2\tan \theta \sec^2 \theta}{\tan^4 \theta + 1} d\theta = \int_0^1 \frac{du}{u^2 + 1} = [\arctan u]_0^1 = \arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}\). সুতরাং, \(\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin 2\theta}{\sin^4 \theta + \cos^4 \theta} d\theta = \frac{\pi}{4}\). ✅