int_0^1(tan^-1x)/(1+x^2)dx=? 

ধাপ ১: দেওয়া ইন্টিগ্রালটি হল:

\[ \int_{0}^{1} \frac{\tan^{-1}(x)}{1+x^2} dx \]

ধাপ ২: প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ব্যবহার করি। ধরি, \(u = \tan^{-1}(x)\)। তাহলে, \(du = \frac{1}{1+x^2} dx\)।

ধাপ ৩: লিমিট পরিবর্তন করি:

• যখন \(x = 0\), তখন \(u = \tan^{-1}(0) = 0\)
• যখন \(x = 1\), তখন \(u = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}\)

সুতরাং, নতুন ইন্টিগ্রালটি হবে:

\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} u \, du \]

ধাপ ৪: ইন্টিগ্রেশন করি:

\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} u \, du = \left[ \frac{u^2}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} \]

ধাপ ৫: লিমিট বসিয়ে মান বের করি:

\[ \frac{(\frac{\pi}{4})^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{\frac{\pi^2}{16}}{2} = \frac{\pi^2}{32} \]

অতএব, \[ \int_{0}^{1} \frac{\tan^{-1}(x)}{1+x^2} dx = \frac{\pi^2}{32} \] 🎉