\(\int_0^1 \frac{x}{1 + x^4} \, dx\) এর মান কোনটি?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\int_0^1 \frac{x}{1 + x^4} \, dx\) এর মান কী? উত্তর: \(\frac{\pi}{8}\) সমাধান: প্রথমে, ইন্টিগ্রালটির জন্য সাবস্টিটিউশন করব। ধরা যাক, \[ t = x^2 \Rightarrow dt = 2x\, dx \Rightarrow x\, dx = \frac{dt}{2} \] সুতরাং, যখন \(x = 0\), তখন \(t = 0\) এবং যখন \(x=1\), তখন \(t=1\)। অতএব, ইন্টিগ্রালটি রূপান্তরিত হবে: \[ I = \int_0^1 \frac{x}{1 + x^4} \, dx = \int_0^1 \frac{x}{1 + (x^2)^2} \, dx \] এখানে, \[ I = \int_0^1 \frac{x}{1 + t^2} \, dx = \int_0^1 \frac{1}{1 + t^2} \cdot \frac{dt}{2} \] যেহেতু, \[ x\, dx = \frac{dt}{2} \] সুতরাং, \[ I = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{1}{1 + t^2} \, dt \] এই ইন্টিগ্রালটি পরিচিত, কারণ: \[ \int \frac{1}{1 + t^2} \, dt = \arctan t + C \] অতএব, \[ I = \frac{1}{2} \left[ \arctan t \right]_0^1 = \frac{1}{2} (\arctan 1 - \arctan 0) = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{4} - 0 \right) = \frac{\pi}{8} \] অতএব, ইন্টিগ্রালটির মান হলো: \[ \boxed{\frac{\pi}{8}} \]