int(dx)/((1-sin^2x)(√tanx)   এর যোগজীকরণ কোনটি?

প্রশ্ন: \(\int \frac{dx}{(1-\sin^2 x)\sqrt{\tan x}}\) এর যোগজীকরণ নির্ণয় করো।

সমাধান:

আমরা জানি, \(1 - \sin^2 x = \cos^2 x\)। সুতরাং,

\(\int \frac{dx}{(1-\sin^2 x)\sqrt{\tan x}} = \int \frac{dx}{\cos^2 x \sqrt{\tan x}}\)

আমরা আরও জানি, \(\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x\)। সুতরাং,

\(\int \frac{dx}{\cos^2 x \sqrt{\tan x}} = \int \frac{\sec^2 x}{\sqrt{\tan x}} dx\)

ধরি, \(u = \tan x\)। তাহলে, \(\frac{du}{dx} = \sec^2 x\), সুতরাং \(du = \sec^2 x dx\)।

এখন, সমাকলটি হবে:

\(\int \frac{\sec^2 x}{\sqrt{\tan x}} dx = \int \frac{du}{\sqrt{u}} = \int u^{-\frac{1}{2}} du\)

আমরা জানি, \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c\)। সুতরাং,

\(\int u^{-\frac{1}{2}} du = \frac{u^{-\frac{1}{2} + 1}}{-\frac{1}{2} + 1} + c = \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + c = 2\sqrt{u} + c\)

যেহেতু \(u = \tan x\), তাই,

\(2\sqrt{u} + c = 2\sqrt{\tan x} + c\)

অতএব, \(\int \frac{dx}{(1-\sin^2 x)\sqrt{\tan x}} = 2\sqrt{\tan x} + c\)

সুতরাং, উত্তর: \(2\sqrt{\tan x} + c\) 🎉