int_0^1dx/(√2x-x^2)=? 

প্রশ্ন: \(\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{2x - x^2}} = ?\)

সমাধান:

আমরা প্রথমে ইন্টিগ্র‍্যান্ডটিকে একটু সরল করে লিখি:

\(\sqrt{2x - x^2} = \sqrt{1 - (1 - 2x + x^2)} = \sqrt{1 - (x - 1)^2}\)

সুতরাং, আমাদের ইন্টিগ্রালটি হবে:

\(\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1 - (x - 1)^2}}\)

এখন, \(x - 1 = \sin(\theta)\) ধরি। তাহলে, \(dx = \cos(\theta) d\theta\)।

যখন \(x = 0\), তখন \(\sin(\theta) = -1\), অর্থাৎ \(\theta = -\frac{\pi}{2}\)।

যখন \(x = 1\), তখন \(\sin(\theta) = 0\), অর্থাৎ \(\theta = 0\)।

সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি হবে:

\(\int_{-\frac{\pi}{2}}^0 \frac{\cos(\theta) d\theta}{\sqrt{1 - \sin^2(\theta)}} = \int_{-\frac{\pi}{2}}^0 \frac{\cos(\theta) d\theta}{\sqrt{\cos^2(\theta)}} = \int_{-\frac{\pi}{2}}^0 \frac{\cos(\theta) d\theta}{\cos(\theta)} = \int_{-\frac{\pi}{2}}^0 d\theta\)

\(= [\theta]_{-\frac{\pi}{2}}^0 = 0 - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}\)

অতএব, \(\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{2x - x^2}} = \frac{\pi}{2}\) 🎉