\( \int \frac{dx}{\sqrt{2ax - x^2}} = ? \)

Another Explanation (5):

সমাধান:

আমরা নিম্নলিখিত ইনটিগ্রালটিকে সমাধান করব:

\[ \int \frac{dx}{\sqrt{2ax - x^2}} \]

প্রথম ধাপ: নিয়মানুযায়ী রূপান্তর

প্রথমে, নিচের অংশে একটি পরিবর্তন আনা যাক:

\[ 2ax - x^2 = a^2 - (x - a)^2 \]

কারণ, \[ a^2 - (x - a)^2 = a^2 - (x^2 - 2ax + a^2) = a^2 - x^2 + 2ax - a^2 = 2ax - x^2 \] অতএব, \[ \sqrt{2ax - x^2} = \sqrt{a^2 - (x - a)^2} \]

দ্বিতীয় ধাপ: পরিবর্তন

ধরি, \( u = x - a \), তাহলে, \[ x = u + a, \quad dx = du \] এবং, \[ \int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - u^2}} = \int \frac{du}{\sqrt{a^2 - u^2}} \]

তৃতীয় ধাপ: সাধারণ সমাধান

এখন, ইন্টিগ্রালটি হলো: \[ \int \frac{du}{\sqrt{a^2 - u^2}} \] এটি একটি মানদণ্ড ইন্টিগ্রাল যার ফলাফল হলো: \[ \sin^{-1} \left( \frac{u}{a} \right) + C \]

চতুর্থ ধাপ: মূল পরিবর্তন ফিরিয়ে আনা

সংজ্ঞায়, \( u = x - a \), তাই: \[ \int \frac{dx}{\sqrt{2ax - x^2}} = \sin^{-1} \left( \frac{x - a}{a} \right) + C \]

উত্তর:

\[ \boxed{\int \frac{dx}{\sqrt{2ax - x^2}} = \sin^{-1} \left( \frac{x - a}{a} \right) + C} \]