int_o^1 x/(1+x)dx=?

প্রশ্ন: \(\int_{0}^{1} \frac{x}{1+x} \, dx = ?\)

উত্তর: 1 - \(\ln 2\)

সমাধান:

আমরা ইন্টিগ্রেশন করি \(\int_{0}^{1} \frac{x}{1+x} \, dx\)

প্রথমে, numerator এবং denominator এর মধ্যে সম্পর্ক ব্যবহার করি:

\[
\frac{x}{1+x} = \frac{(1+x) - 1}{1+x} = \frac{1+x}{1+x} - \frac{1}{1+x} = 1 - \frac{1}{1+x}
\]

অতএব,

\[
\int_{0}^{1} \frac{x}{1+x} \, dx = \int_{0}^{1} \left(1 - \frac{1}{1+x}\right) dx
\]

এখন, বিভাজন করি:

\[
= \int_{0}^{1} 1 \, dx - \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} \, dx
\]

প্রথম ইন্টিগ্রেট:

\[
\int_{0}^{1} 1 \, dx = [x]_{0}^{1} = 1 - 0 = 1
\]

দ্বিতীয় ইন্টিগ্রেট:

\[
\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} \, dx = [\ln|1+x|]_{0}^{1} = \ln(2) - \ln(1) = \ln 2 - 0 = \ln 2
\]

অতএব,

\[
\int_{0}^{1} \frac{x}{1+x} \, dx = 1 - \ln 2
\]

সুতরাং, উত্তর হলো:

$\backslash boxed\{1\; -\; \backslash ln\; 2\}$