int_0^3x/(sqrt(x+1)dx=? 

ধাপ ১: প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ব্যবহার করি।

ধরি, \(u = x + 1\), সুতরাং \(x = u - 1\) এবং \(du = dx\)।

সীমা পরিবর্তন করি:

যখন \(x = 0\), \(u = 0 + 1 = 1\)

যখন \(x = 3\), \(u = 3 + 1 = 4\)

সুতরাং, সমাকলনটি হবে:

\(\int_1^4 \frac{u - 1}{\sqrt{u}} du\)

\(=\int_1^4 (u^{1/2} - u^{-1/2}) du\)

ধাপ ২: এখন আমরা সমাকলন করি।

\(\int_1^4 u^{1/2} du - \int_1^4 u^{-1/2} du\)

\(= \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_1^4 - \left[ 2 u^{1/2} \right]_1^4\)

\(= \frac{2}{3} (4^{3/2} - 1^{3/2}) - 2 (4^{1/2} - 1^{1/2})\)

\(= \frac{2}{3} (8 - 1) - 2 (2 - 1)\)

\(= \frac{2}{3} \cdot 7 - 2 \cdot 1\)

\(= \frac{14}{3} - 2\)

\(= \frac{14 - 6}{3}\)

\(= \frac{8}{3}\) 🎉🎉

সুতরাং, \(\int_0^3 \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx = \frac{8}{3}\) 🥳