int_1^(e^2) dx/(x(1+lnx)^2) =?

প্রশ্ন: \(\int_1^{e^2} \frac{dx}{x(1+\ln x)^2} = ?\) 🤔

উত্তর: \(2/3\)

সমাধান:

ধরি, \(u = 1 + \ln x\)

তাহলে, \(\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}\)

সুতরাং, \(du = \frac{dx}{x}\) 😃

এখন, যখন \(x = 1\), তখন \(u = 1 + \ln 1 = 1 + 0 = 1\)

এবং যখন \(x = e^2\), তখন \(u = 1 + \ln e^2 = 1 + 2 = 3\)

সুতরাং, আমাদের ইন্টিগ্রালটি হবে:

\(\int_1^{e^2} \frac{dx}{x(1+\ln x)^2} = \int_1^3 \frac{du}{u^2}\) 😎

আমরা জানি, \(\int u^{-2} du = \frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{u} + C\)

সুতরাং, \(\int_1^3 \frac{du}{u^2} = \left[-\frac{1}{u}\right]_1^3 = -\frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{1}\right) = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}\)

অতএব, \(\int_1^{e^2} \frac{dx}{x(1+\ln x)^2} = \frac{2}{3}\) 🎉