int_0^(pi/4)(tan^2xsec^2x)dx এর মান কোনটি?

প্রশ্ন: \( \int_0^{\pi/4} (\tan^2x \sec^2x) \, dx \) এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, \( u = \tan x \)।

তাহলে, \( \frac{du}{dx} = \sec^2 x \) বা, \( du = \sec^2 x \, dx \)। 🤩

এখন, যখন \( x = 0 \), তখন \( u = \tan 0 = 0 \)। 😊

এবং যখন \( x = \frac{\pi}{4} \), তখন \( u = \tan \frac{\pi}{4} = 1 \)। 🎉

সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি \( u \) এর সাপেক্ষে পরিবর্তন করলে পাই,

\( \int_0^{\pi/4} (\tan^2x \sec^2x) \, dx = \int_0^1 u^2 \, du \).

আমরা জানি, \( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)।

অতএব, \( \int_0^1 u^2 \, du = \left[ \frac{u^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3} \)।

সুতরাং, \( \int_0^{\pi/4} (\tan^2x \sec^2x) \, dx = \frac{1}{3} \)।

উত্তর: \( \frac{1}{3} \) ✅