int_0^2dx/sqrt(4x+1) এর মান নির্ণয় কর।

প্রশ্ন: \( \int_{0}^{2} \frac{dx}{\sqrt{4x+1}} \) এর মান নির্ণয় কর। 🤔

সমাধান:

ধরি, \( u = 4x + 1 \)
তাহলে, \( du = 4 dx \Rightarrow dx = \frac{du}{4} \) 🤓

সীমা পরিবর্তন করি:
যখন \( x = 0 \), \( u = 4(0) + 1 = 1 \)
যখন \( x = 2 \), \( u = 4(2) + 1 = 9 \) 😎

সুতরাং, সমাকলনটি হবে:
\( \int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{4} = \frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{-\frac{1}{2}} du \) ✨

এখন, \( \int u^{-\frac{1}{2}} du = \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{u} + C \) 🤩

অতএব, \( \frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{-\frac{1}{2}} du = \frac{1}{4} [2\sqrt{u}]_{1}^{9} = \frac{1}{2} [\sqrt{u}]_{1}^{9} \) 😮

মান বসিয়ে পাই, \( \frac{1}{2} [\sqrt{9} - \sqrt{1}] = \frac{1}{2} [3 - 1] = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 \) 🎉

সুতরাং, \( \int_{0}^{2} \frac{dx}{\sqrt{4x+1}} = 1 \) ✅