int_0^1 dx/sqrt(2x-x^2)  এর মান কত?

সমাধান:

আমরা নির্ণয় করতে চাই: \( \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{2x - x^2}} \)

লক্ষ্য করি, \(2x - x^2 = 1 - (1 - 2x + x^2) = 1 - (x - 1)^2\).

সুতরাং, সমাকলটি হবে:

\( \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1 - (x - 1)^2}} \)

ধরি, \(x - 1 = \sin\theta\). তাহলে, \(dx = \cos\theta d\theta\).

যখন \(x = 0\), \(\sin\theta = -1\), অর্থাৎ \(\theta = -\frac{\pi}{2}\).

যখন \(x = 1\), \(\sin\theta = 0\), অর্থাৎ \(\theta = 0\).

সুতরাং, সমাকলটি পরিবর্তিত হয়ে দাঁড়ায়:

\( \int_{-\pi/2}^0 \frac{\cos\theta d\theta}{\sqrt{1 - \sin^2\theta}} = \int_{-\pi/2}^0 \frac{\cos\theta d\theta}{\sqrt{\cos^2\theta}} = \int_{-\pi/2}^0 \frac{\cos\theta d\theta}{\cos\theta} = \int_{-\pi/2}^0 d\theta \)

\( = [\theta]_{-\pi/2}^0 = 0 - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} \)

অতএব, \( \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{2x - x^2}} = \frac{\pi}{2} \). 🥳