int_0^1(sqrt(1-x)/sqrt(1+x)) dx এর মান কত?

Ans: C.

ধাপ ১: প্রদত্ত ইন্টিগ্রালটি হলো:

\(\int_0^1 \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}} dx\)

ধাপ ২: আমরা \(x = \cos(2\theta)\) প্রতিস্থাপন করি। সুতরাং, \(dx = -2\sin(2\theta) d\theta\).

যখন \(x = 0\), \(\cos(2\theta) = 0\) সুতরাং \(2\theta = \frac{\pi}{2}\) এবং \(\theta = \frac{\pi}{4}\).

যখন \(x = 1\), \(\cos(2\theta) = 1\) সুতরাং \(2\theta = 0\) এবং \(\theta = 0\).

ধাপ ৩: প্রতিস্থাপনের পরে ইন্টিগ্রালটি হবে:

\(\int_{\pi/4}^0 \frac{\sqrt{1-\cos(2\theta)}}{\sqrt{1+\cos(2\theta)}} (-2\sin(2\theta)) d\theta\)

\(= 2 \int_0^{\pi/4} \frac{\sqrt{2\sin^2(\theta)}}{\sqrt{2\cos^2(\theta)}} \cdot 2\sin(\theta)\cos(\theta) d\theta\)

\(= 4 \int_0^{\pi/4} \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} \sin(\theta)\cos(\theta) d\theta\)

\(= 4 \int_0^{\pi/4} \sin^2(\theta) d\theta\)

ধাপ ৪: \(\sin^2(\theta)\) কে \(\frac{1 - \cos(2\theta)}{2}\) দ্বারা প্রতিস্থাপন করে:

\(= 4 \int_0^{\pi/4} \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} d\theta\)

\(= 2 \int_0^{\pi/4} (1 - \cos(2\theta)) d\theta\)

ধাপ ৫: ইন্টিগ্রেশন সম্পন্ন করে:

\(= 2 \left[ \theta - \frac{\sin(2\theta)}{2} \right]_0^{\pi/4}\)

\(= 2 \left[ \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\sin(\pi/2)}{2} \right) - \left( 0 - \frac{\sin(0)}{2} \right) \right]\)

\(= 2 \left[ \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \right]\)

\(= \frac{\pi}{2} - 1\)

সুতরাং, \(\int_0^1 \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}} dx = \frac{\pi}{2} - 1\). 🎉