\( \int_{2}^{3} \left( \frac{2x}{1 + x^2} \right) dx = ? \)

প্রশ্নটি হলো:

\[ \int_{2}^{3} \frac{2x}{1 + x^2} \, dx \]

সমাধান:

প্রথমে, আমাদের লক্ষ্য হলো এই ইনটিগ্রালটির জন্য উপযুক্ত সাবস্টিটিউশন খুঁজে বের করা। লক্ষ্য হচ্ছে \(\frac{2x}{1 + x^2}\) এর ইনটিগ্রাল খুঁজে বের করা।

দেখা যাচ্ছে যে, \(\frac{d}{dx}(1 + x^2) = 2x\)। তাই, আমরা এই ফাংশনের অংকটির জন্য সাবস্টিটিউশন করতে পারি।

সাবস্টিটিউশন: \( u = 1 + x^2 \)

অতঃপর, \( du = 2x \, dx \)

এখন, ইনটিগ্রালটি পরিবর্তন করি:

\[ \int \frac{2x}{1 + x^2} \, dx = \int \frac{1}{u} \, du \]

এই ইনটিগ্রালটির সমাধান হলো:

\[ \int \frac{1}{u} \, du = \ln |u| + C \]

প্রতিস্থাপন অনুযায়ী, \( u = 1 + x^2 \), তাই:

\[ \int_{2}^{3} \frac{2x}{1 + x^2} \, dx = \left[ \ln |1 + x^2| \right]_{x=2}^{x=3} \]

এখন, মানগুলি নির্ণয় করি:

\[ = \ln (1 + 3^2) - \ln (1 + 2^2) \]

\[ = \ln (1 + 9) - \ln (1 + 4) \]

\[ = \ln 10 - \ln 5 \]

অতএব, ফলাফল হলো:

\[ \boxed{\ln \frac{10}{5}} = \ln 2 \]