int_0^1 dx/(e^x+e^-x)=? 

সমাধান:

আমরা জানি, \( \int_0^1 \frac{dx}{e^x + e^{-x}} \)

এখন, লব ও হরকে \( e^x \) দিয়ে গুণ করে পাই,

\( \int_0^1 \frac{e^x}{e^{2x} + 1} dx \)

ধরি, \( e^x = t \), সুতরাং \( e^x dx = dt \) হবে।

যখন \( x = 0 \) , তখন \( t = e^0 = 1 \) এবং যখন \( x = 1 \) , তখন \( t = e^1 = e \) ।

অতএব, ইন্টিগ্রালটি হবে,

\( \int_1^e \frac{dt}{t^2 + 1} \)

আমরা জানি, \( \int \frac{dx}{x^2 + 1} = \tan^{-1}(x) + C \)

সুতরাং, \( \int_1^e \frac{dt}{t^2 + 1} = \left[ \tan^{-1}(t) \right]_1^e \)

\(= \tan^{-1}(e) - \tan^{-1}(1) \)

আমরা জানি, \( \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} \)

সুতরাং, \( \tan^{-1}(e) - \frac{\pi}{4} \)

অতএব, \( \int_0^1 \frac{dx}{e^x + e^{-x}} = \tan^{-1}(e) - \frac{\pi}{4} \)

সুতরাং, উত্তর: \( \tan^{-1}e - \frac{\pi}{4} \) 🎉