int_0^1 (4dx)/(1+x^2)=?

প্রশ্ন: \int_0^1 \frac{4}{1 + x^2} \, dx \

উত্তর: π

সমাধান:

আমরা জানি যে,
\[ \int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \arctan x + C \]

অতএব, প্রদত্ত ইন্টিগ্রালটি হবে:

\[ \int_0^1 \frac{4}{1 + x^2} \, dx = 4 \int_0^1 \frac{1}{1 + x^2} \, dx \]

এবং, উপরের ইন্টিগ্রালটির মান হল:

\[ 4 \left[ \arctan x \right]_0^1 = 4 \left( \arctan 1 - \arctan 0 \right) \]

এখানে, \(\arctan 1 = \frac{\pi}{4}\) এবং \(\arctan 0 = 0\), তাই:

\[ 4 \left( \frac{\pi}{4} - 0 \right) = 4 \times \frac{\pi}{4} = \pi \]

অতএব, উত্তর হল: \(\pi\)