inte^x((1+sin x)/(1+cosx))dx- এর মান হল– 

Explanation:

Another Explanation (5): সমাধান: প্রশ্নটি হল: \(\int e^x \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} dx\) -এর মান নির্ণয়। আমরা জানি, \(\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}\) এবং \(\cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2} - 1\). সুতরাং, \(1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}\). তাহলে, \(\begin{aligned} \int e^x \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} dx &= \int e^x \frac{1 + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} dx \\ &= \int e^x \left( \frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} + \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} \right) dx \\ &= \int e^x \left( \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} + \tan \frac{x}{2} \right) dx \\ &= \int e^x \left( \tan \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} \right) dx \end{aligned}\) এখন, আমরা জানি \(\int e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + C\). এখানে, \(f(x) = \tan \frac{x}{2}\). তাহলে, \(f'(x) = \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2}\). সুতরাং, \(\int e^x \left( \tan \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} \right) dx = e^x \tan \frac{x}{2} + C\) অতএব, \(\int e^x \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} dx = e^x \tan \frac{x}{2} + C\) উত্তর: \(e^x \tan \frac{x}{2} + C\) 🎉