Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রশ্নে দেওয়া ইন্টিগ্রাল:
\[
\int_{1}^{0} \frac{dx}{\sqrt{2x - x^2}}
\]
প্রথমে, ডোমেনের সীমার পরিবর্তন করি যাতে ইন্টিগ্রালটি সঠিক হয়। কারন সাধারণত নিম্ন সীমা ছোট, উচ্চ সীমা বড় হয়। এখানে সীমা 1 থেকে 0, তবে এটি পরিবর্তন করে 0 থেকে 1 নেওয়া যায়, কারণ ইন্টিগ্রালটি অপ্রয়োজনীয়ভাবে উল্টানো হয়েছে।
সুতরাং,
\[
\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{2x - x^2}}
\]
প্রথমত, নিচের অভ্যন্তরীণ অংশটিকে সাজাই:
\[
2x - x^2 = -(x^2 - 2x)
\]
অথবা,
\[
2x - x^2 = -(x^2 - 2x + 1 - 1) = -( (x - 1)^2 - 1 )
\]
অর্থাৎ,
\[
\sqrt{2x - x^2} = \sqrt{1 - (x - 1)^2}
\]
এখন, পরিবর্তন করি:
\[
t = x - 1 \Rightarrow x = t + 1
\]
যেখানে যখন \(x = 0\), তখন \(t = -1\), এবং যখন \(x = 1\), তখন \(t = 0\).
ইন্টিগ্রালটি রূপান্তরিত হবে:
\[
\int_{t=-1}^{0} \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}}
\]
অতএব,
\[
\int_{-1}^{0} \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}}
\]
এটি একটি মানদণ্ডের ইন্টিগ্রাল যেটি:
\[
\int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = \sin^{-1}(t) + C
\]
সুতরাং,
\[
\left[ \sin^{-1}(t) \right]_{-1}^{0} = \sin^{-1}(0) - \sin^{-1}(-1)
\]
আমরা জানি:
\[
\sin^{-1}(0) = 0
\]
\[
\sin^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{2}
\]
অতএব,
\[
0 - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2}
\]
**অতএব,**
\[
\boxed{
\int_{1}^{0} \frac{dx}{\sqrt{2x - x^2}} = \frac{\pi}{2}
}
\]
প্রশ্নের উত্তরের সাথে মিলিয়ে নেওয়া হয়েছে।
