Another Explanation (5):
প্রশ্নের সমাধান:
প্রশ্ন:
সাধারিত: \(\int \csc x \, dx\) এর যোগজ
বিকল্পসমূহ:
i) \(- \ln |\csc x + \cot x| + c\)
ii) \(\ln \left| \tan \frac{x}{4} - \frac{x}{2} \right| + c\)
iii) \(\ln |\tan \frac{x}{2}| + c\)
সঠিক উত্তর: **i ও iii**
সমাধান: \(\int \csc x \, dx\)
প্রথমে, \(\csc x = \frac{1}{\sin x}\)।
আমরা জানি যে,
\[
\int \csc x \, dx = \int \frac{1}{\sin x} \, dx
\]
উপায়:
\[
\int \csc x \, dx = \int \frac{\csc x (\csc x + \cot x)}{\csc x + \cot x} \, dx
\]
নির্ণয়:
\[
\text{চলুন, } u = \csc x + \cot x
\]
তাহলে,
\[
du = -\csc x \cot x - \csc^2 x \, dx
\]
অথবা,
\[
du = - (\csc x \cot x + \csc^2 x) \, dx
\]
এখন, \(\csc x \cot x + \csc^2 x = \frac{d}{dx} (\csc x)\), তবে আরও সহজভাবে দেখা যায়:
\[
d(\csc x) = - \csc x \cot x \, dx
\]
এবং,
\[
d(\cot x) = - \csc^2 x \, dx
\]
তাই,
\[
du = - (\csc x \cot x + \csc^2 x) \, dx
\]
অর্থাৎ,
\[
- du = (\csc x \cot x + \csc^2 x) \, dx
\]
এখন,
\[
\int \csc x \, dx = \int \frac{\csc x}{u} \, dx
\]
অথবা, এই পদ্ধতি থেকে দেখা যায় যে,
\[
\frac{d}{dx} (\csc x + \cot x) = - (\csc x \cot x + \csc^2 x)
\]
তাই,
\[
\boxed{
\int \csc x \, dx = - \ln |\csc x + \cot x| + c
}
\]
এবং, এটি প্রথম বিকল্পের সমান।
---
বিঃদ্রঃ
অন্য পদ্ধতিতেও দেখা যায় যে,
\[
\int \csc x \, dx = \ln |\tan \frac{x}{2}| + c
\]
এবং, এই ফলাফলটি দ্বিতীয় বিকল্পের সাথে সম্পর্কিত নয়।
---
উপসংহার:
অতএব, সঠিক উত্তর হচ্ছে:
**i ও iii**
**অর্থাৎ,**
\[
\boxed{
\int \csc x \, dx = - \ln |\csc x + \cot x| + c \quad \text{এবং} \quad \ln |\tan \frac{x}{2}| + c
}
\]
**উত্তর: "i ও iii"**
