যদি x>a>0 তবে, int dx/(x^2-a^2) এর মান কত?

Explanation:

Another Explanation (5): যদি \(x > a > 0\) হয়, তবে \(\int \frac{dx}{x^2 - a^2}\) এর মান নির্ণয় করতে হবে। আমরা প্রথমে \(\frac{1}{x^2 - a^2}\) কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করি: \[ \frac{1}{x^2 - a^2} = \frac{1}{(x - a)(x + a)} = \frac{A}{x - a} + \frac{B}{x + a} \] যেখানে \(A\) এবং \(B\) ধ্রুবক। উভয় দিকে \((x - a)(x + a)\) দিয়ে গুণ করে পাই: \[ 1 = A(x + a) + B(x - a) \] এখন, \(x = a\) বসালে পাই: \[ 1 = A(a + a) + B(a - a) \implies 1 = 2aA \implies A = \frac{1}{2a} \] আবার, \(x = -a\) বসালে পাই: \[ 1 = A(-a + a) + B(-a - a) \implies 1 = -2aB \implies B = -\frac{1}{2a} \] সুতরাং, \[ \frac{1}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a(x - a)} - \frac{1}{2a(x + a)} \] এখন, ইন্টিগ্রালটি হবে: \[ \int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \int \left( \frac{1}{2a(x - a)} - \frac{1}{2a(x + a)} \right) dx \] \[ = \frac{1}{2a} \int \left( \frac{1}{x - a} - \frac{1}{x + a} \right) dx \] \[ = \frac{1}{2a} \left( \int \frac{1}{x - a} dx - \int \frac{1}{x + a} dx \right) \] \[ = \frac{1}{2a} \left( \ln|x - a| - \ln|x + a| \right) + C \] যেখানে \(C\) হল সমাকলন ধ্রুবক। লগারিদমের নিয়ম অনুসারে: \[ = \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{x - a}{x + a} \right| + C \] যেহেতু \(x > a > 0\), \(\frac{x-a}{x+a}\) ধনাত্মক হবে। তাই পরম মান চিহ্ন বাদ দেওয়া যায়। \[ \int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \ln \left( \frac{x - a}{x + a} \right) + C \] সুতরাং, \(\int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \ln \left( \frac{x - a}{x + a} \right) \) 🥳🎉।