int_0^(π/4) dx/(1+cos2x)এর মান কত?

সমাধান:

আমরা নিচের ইন্টিগ্রালটির মান নির্ণয় করব:

\[ I = \int_0^{\pi/4} \frac{dx}{1 + \cos 2x} \]

ধাপ ১: ট্রিগোনোমেট্রিক পরিচিতি

আমরা জানি:

\[ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 \]

\[ 1 + \cos 2x = 1 + (2\cos^2 x - 1) = 2\cos^2 x \]

ধাপ ২: ইনটিগ্রালটি পুনর্লিখন

অতএব,

\[ I = \int_0^{\pi/4} \frac{dx}{2 \cos^2 x} = \frac{1}{2} \int_0^{\pi/4} \frac{dx}{\cos^2 x} \]

ধাপ ৩: পরিচিত ইন্টিগ্রাল

আমরা জানি:

\[ \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C \]

\[ I = \frac{1}{2} \left[\tan x \right]_0^{\pi/4} \]

ধাপ ৪: মান নির্ণয়

তাহলে:

\[ I = \frac{1}{2} (\tan (\pi/4) - \tan 0) = \frac{1}{2} (1 - 0) = \frac{1}{2} \]

উত্তর:

অতএব,

\[ \boxed{\frac{1}{2}} \]