int_0^(π/4) 1/(1+sinx) dx   এই যোগজটির মান কত ?  

Explanation:

Another Explanation (5): সমাধান: আমরা যোগজটি নির্ণয় করব: \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1+\sin x} dx \] প্রথমে, আমরা \(\frac{1}{1+\sin x}\) কে সরল করি। এর জন্য, আমরা \(1-\sin x\) দিয়ে লব ও হরকে গুণ করি: \[ \frac{1}{1+\sin x} = \frac{1-\sin x}{(1+\sin x)(1-\sin x)} = \frac{1-\sin x}{1-\sin^2 x} = \frac{1-\sin x}{\cos^2 x} = \sec^2 x - \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \sec^2 x - \sec x \tan x \] সুতরাং, \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1+\sin x} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sec^2 x - \sec x \tan x) dx \] এখন, আমরা জানি যে \(\int \sec^2 x dx = \tan x\) এবং \(\int \sec x \tan x dx = \sec x\). সুতরাং, \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sec^2 x - \sec x \tan x) dx = [\tan x - \sec x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} \] এখন আমরা \(\frac{\pi}{4}\) এবং \(0\) এর মান বসিয়ে পাই: \[ \left(\tan \frac{\pi}{4} - \sec \frac{\pi}{4}\right) - (\tan 0 - \sec 0) = (1 - \sqrt{2}) - (0 - 1) = 1 - \sqrt{2} + 1 = 2 - \sqrt{2} \] সুতরাং, \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1+\sin x} dx = 2 - \sqrt{2} \] অতএব, যোগজটির মান \(2 - \sqrt{2}\). 🎉