int_0^1x^2/(x^3+2)dx=  = কত ?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\int_0^1 \frac{x^2}{x^3 + 2} \, dx = \text{কত?}\) উত্তর: \(\frac{1}{3} \ln \left(\frac{3}{2}\right)\) সমাধান: প্রথমে, আমাদের ইন্টিগ্রালটি হলো: \[ I = \int_0^1 \frac{x^2}{x^3 + 2} \, dx \] এখানে, উপরের ডেনোমিনেটর \(x^3 + 2\)। আমরা উপযুক্ত সাবস্টিটিউশনের জন্য \(u\)-সাবস্টিটিউশন করি: \[ u = x^3 + 2 \] তাহলে, \[ du = 3x^2 \, dx \] অর্থাৎ, \[ x^2 \, dx = \frac{1}{3} du \] প্রদত্ত ইন্টিগ্রালটির সীমা পরিবর্তন করি: - যখন \(x = 0\), তখন \(u = 0^3 + 2 = 2\) - যখন \(x = 1\), তখন \(u = 1^3 + 2 = 3\) এখন, ইন্টিগ্রালটি হয়: \[ I = \int_{u=2}^{u=3} \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{3} \int_2^3 \frac{1}{u} \, du \] প্রতিটি ইন্টিগ্রালটির সমাধান হলো: \[ I = \frac{1}{3} [\ln|u|]_2^3 = \frac{1}{3} (\ln 3 - \ln 2) = \frac{1}{3} \ln \left(\frac{3}{2}\right) \] অতএব, \[ \boxed{ \int_0^1 \frac{x^2}{x^3 + 2} \, dx = \frac{1}{3} \ln \left(\frac{3}{2}\right) } \]