int_0^lnsqrt2 (1+cos(e^(-2x)))/(e^(2x))dx =? 

Explanation:

Another Explanation (5): সমাধান: ধরি, \(u = e^{-2x}\) সুতরাং \(\frac{du}{dx} = -2e^{-2x}\) বা, \(dx = \frac{-du}{2e^{-2x}} = \frac{-du}{2u}\)। এখন, যখন \(x = 0\), তখন \(u = e^0 = 1\) এবং যখন \(x = \ln{\sqrt{2}}\), তখন \(u = e^{-2\ln{\sqrt{2}}} = e^{\ln{(\sqrt{2})^{-2}}} = e^{\ln{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2}\). সুতরাং, \(\int_0^{\ln{\sqrt{2}}} \frac{1 + \cos(e^{-2x})}{e^{2x}} dx = \int_1^{\frac{1}{2}} \frac{1 + \cos(u)}{u} \cdot \frac{-du}{2u} = -\frac{1}{2} \int_1^{\frac{1}{2}} \frac{1 + \cos(u)}{u} \cdot \frac{du}{u}\). 😥 এখানে একটি সমস্যা আছে। আমাদের প্রতিস্থাপনটি সঠিক নয়। 🤔 সঠিক প্রতিস্থাপন: ধরি, \(u = e^{-2x}\). সুতরাং, \(du = -2e^{-2x} dx\) বা, \(dx = \frac{-du}{2e^{-2x}} = \frac{-du}{2u}\). তাহলে, \(\int_0^{\ln{\sqrt{2}}} \frac{1 + \cos(e^{-2x})}{e^{2x}} dx = \int_1^{\frac{1}{2}} \frac{1 + \cos(u)}{u} \left( \frac{-du}{2u} \right)\) 😟 এটা সঠিক নয়। আমরা সরাসরি প্রতিস্থাপন করতে পারছি না। অন্যভাবে চেষ্টা করি: \(\int_0^{\ln{\sqrt{2}}} \frac{1 + \cos(e^{-2x})}{e^{2x}} dx = \int_0^{\ln{\sqrt{2}}} e^{-2x} (1 + \cos(e^{-2x})) dx\) ধরি, \(u = e^{-2x}\), সুতরাং, \(du = -2e^{-2x} dx\) বা \(e^{-2x} dx = -\frac{1}{2} du\) যখন \(x = 0\), \(u = 1\) এবং যখন \(x = \ln{\sqrt{2}}\), \(u = \frac{1}{2}\). সুতরাং, \(\int_0^{\ln{\sqrt{2}}} e^{-2x} (1 + \cos(e^{-2x})) dx = \int_1^{\frac{1}{2}} (1 + \cos(u)) (-\frac{1}{2} du) = -\frac{1}{2} \int_1^{\frac{1}{2}} (1 + \cos(u)) du\) \( = \frac{1}{2} \int_{\frac{1}{2}}^1 (1 + \cos(u)) du = \frac{1}{2} [u + \sin(u)]_{\frac{1}{2}}^1 = \frac{1}{2} [(1 + \sin(1)) - (\frac{1}{2} + \sin(\frac{1}{2}))]\) \( = \frac{1}{2} [1 + \sin(1) - \frac{1}{2} - \sin(\frac{1}{2})] = \frac{1}{2} [\frac{1}{2} + \sin(1) - \sin(\frac{1}{2})] = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} (\sin(1) - \sin(\frac{1}{2}))\) 🎉 সুতরাং, উত্তর: \(\frac{1}{4} + \frac{1}{2} (\sin(1) - \sin(\frac{1}{2}))\)