\( \int_2^5 \frac{dx}{x^2 - 4x + 13} \) এর মান কোনটি?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( \int_2^5 \frac{dx}{x^2 - 4x + 13} \) সমাধান: প্রথমে, ডেনোমিনেটরকে মানানসই রূপে রূপান্তর করি: \( x^2 - 4x + 13 \) সম্পূরণীয় বর্গের সূত্র অনুযায়ী, \( x^2 - 4x + 4 + 9 = (x - 2)^2 + 3^2 \) অর্থাৎ, \( \int \frac{dx}{(x - 2)^2 + 3^2} \) পরিবর্তনীয়: ধরি, \( t = x - 2 \Rightarrow dt = dx \) তারপর, \( x = 2 \Rightarrow t = 0 \) \( x = 5 \Rightarrow t = 3 \) সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি হয়ে যাবে: \( \int_{0}^{3} \frac{dt}{t^2 + 3^2} \) প্রশ্নের মানানসই সাধারণ সূত্র: \( \int \frac{dt}{t^2 + a^2} = \frac{1}{a} \arctangent \left( \frac{t}{a} \right) + C \) এখানে, \( a = 3 \) অতএব, \( \int_{0}^{3} \frac{dt}{t^2 + 3^2} = \frac{1}{3} \left[ \arctangent \left( \frac{t}{3} \right) \right]_0^3 \) মূল্য নির্ণয়: \( = \frac{1}{3} \left[ \arctangent (1) - \arctangent (0) \right] \) জানা: \( \arctangent (1) = \frac{\pi}{4} \) \( \arctangent (0) = 0 \) অতএব, উত্তর: \( \frac{1}{3} \times \left( \frac{\pi}{4} - 0 \right) = \frac{\pi}{12} \) সুতরাং, উত্তর: \( \boxed{\frac{\pi}{12}} \)