intdx/(1-x^2)  = কত ?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\displaystyle \int \frac{dx}{1 - x^2}\) উত্তর: \(\displaystyle \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1 + x}{1 - x} \right| + C\) সমাধান: প্রথমে, আমরা জানি: \[ 1 - x^2 = (1 - x)(1 + x) \] অতএব, \[ \int \frac{dx}{1 - x^2} = \int \frac{dx}{(1 - x)(1 + x)} \] এখানে, আমরা Partial Fraction Decomposition ব্যবহার করব: \[ \frac{1}{(1 - x)(1 + x)} = \frac{A}{1 - x} + \frac{B}{1 + x} \] দুটি অংশের জন্য সমীকরণ: \[ 1 = A(1 + x) + B(1 - x) \] প্রতিটি \(x\) এর জন্য সমাধান: ১) যখন \(x = 1\), \[ 1 = A(1 + 1) + B(0) \Rightarrow 1 = 2A \Rightarrow A = \frac{1}{2} \] ২) যখন \(x = -1\), \[ 1 = A(0) + B(1 - (-1)) \Rightarrow 1 = 2B \Rightarrow B = \frac{1}{2} \] অতএব, \[ \frac{1}{(1 - x)(1 + x)} = \frac{1/2}{1 - x} + \frac{1/2}{1 + x} \] এখন, \[ \int \frac{dx}{1 - x^2} = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{1 - x} + \frac{1}{2} \int \frac{dx}{1 + x} \] প্রতিটি ইনটেগ্রাল সমাধান: \[ \int \frac{dx}{1 - x} = - \ln |1 - x| + C \] \[ \int \frac{dx}{1 + x} = \ln |1 + x| + C \] অতএব, সমাধান: \[ \int \frac{dx}{1 - x^2} = \frac{1}{2} \left( - \ln |1 - x| + \ln |1 + x| \right) + C \] বা, \[ \int \frac{dx}{1 - x^2} = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1 + x}{1 - x} \right| + C \] **চূড়ান্ত উত্তর:** \[ \int \frac{dx}{1 - x^2} = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1 + x}{1 - x} \right| + C \]