int_0^2f(x)dx=2 হলে,int_(-1/2)^(1/2)f(1-2x)dx= কত?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\int_0^2 f(x) \, dx = 2\) হলে, \(\int_{-1/2}^{1/2} f(1 - 2x) \, dx = কত?\) সমাধান: ধরা যাক, \( I = \int_{-1/2}^{1/2} f(1 - 2x) \, dx \) প্রথমে, পরিবর্তনশীল পরিবর্তন করি। ধরি, \( t = 1 - 2x \) তাহলে, \( dt = -2 \, dx \) অর্থাৎ, \( dx = -\frac{1}{2} dt \) নতুন সীমা নির্ণয় করি: যখন \( x = -\frac{1}{2} \), \( t = 1 - 2 \times (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 = 2 \) যখন \( x = \frac{1}{2} \), \( t = 1 - 2 \times \frac{1}{2} = 1 - 1 = 0 \) অতএব, \[ I = \int_{x = -1/2}^{1/2} f(1 - 2x) \, dx = \int_{t=2}^{0} f(t) \left( -\frac{1}{2} \right) dt \] অতএব, \[ I = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} f(t) \, dt \] প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে, \[ \int_{0}^{2} f(t) \, dt = 2 \] অতএব, \[ I = \frac{1}{2} \times 2 = 1 \] অতএব, উত্তর হলো: \[ \boxed{1} \]