Evaluate inte^x{1/(1-x)+1/(1-x)^2}dx 

Explanation:

Another Explanation (5): সমাধান: ধরি, \(I = \int e^x \left(\frac{1}{1-x} + \frac{1}{(1-x)^2}\right) dx\) এখানে, আমরা \(\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c\) এই সূত্রটি ব্যবহার করার চেষ্টা করব। 🤓 ধরি, \(f(x) = \frac{1}{1-x}\)। তাহলে, \(f'(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{1-x}\right) = \frac{d}{dx} (1-x)^{-1} = -1(1-x)^{-2}(-1) = \frac{1}{(1-x)^2}\)। 🤩 সুতরাং, আমরা লিখতে পারি: \(I = \int e^x \left[f(x) + f'(x)\right] dx\) \(=\int e^x \left[\frac{1}{1-x} + \frac{1}{(1-x)^2}\right] dx\) আমরা জানি, \(\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c\)। ✨ অতএব, \(I = e^x \cdot \frac{1}{1-x} + c\)। 🎉 \(I = \frac{e^x}{1-x} + c\)। 🥳 সুতরাং, নির্ণেয় যোগজটি হলো \(\frac{e^x}{1-x} + c\)। ✅